ಅಂತರ್ವೇಶನ ವಿಕಲಿತಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಅವಲೋಕಿಸಿದರೆ, ಈ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳ ಲ್ಲಿಯೂ ಜಿ(0) ಗೆ ಸªುಮಟ್ಟP್ಕÉ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿರುವ ವಿಕಲಿತU¼£್ನು ಬಳಸಿರುವುದ£್ನು À À À À À ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಅಗ್ರಗಾಮಿ ಸೂತ್ರದ ವಿಕಲಿತಗಳೆಲ್ಲ ಸಮಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿ ಮೇಲು ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದು. ಇವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆ ವಂಕಿಯಾಕಾರದಲ್ಲಿರುವುದು. ಈ ಪ್ರಕಾರ, ಅಪಗಾಮಿ ಸೂತ್ರದ ವಿಕಲಿತಗಳೆಲ್ಲ ಸಮಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯೂ ವಂಕಿಯಾಕಾರ ದಲ್ಲಿರುವುದು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಿಗೂ ವಂಕಿಯಾಕಾರದ (ಜಿûಗ್ ಜ್ಯಾóಗ್) ಸೂತ್ರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಜಿ (x + 1 h ) − ಜಿ (x − 1 h ) ಎಂಬುದ£್ನು ಜಿ(x) À 2 2 ನ ಕೇಂದ್ರವಿಕಲಿತ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು δ ಜಿ(x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತೇವೆ. ಪಕಿಯೆಗಳ ಪೃಥP್ಕgಣ ಮಾಡಿ ವಿಭಿ£್ನÀ ವಿಕಲಿತUಳ ್ತ ್ರ ್ರ À À À ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.
73 ಥಿ(ಥಿ 2 − 1) 2 3 ∆ ಜಿ(-1) + ಥಿಜಿ(0) + ∆ ಜಿ ( −1) + ....... 3!
ಇದಕ್ಕೆ ಎವರೆಟ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. ಇದು ಕೋಷ್ಟಕದ ರಚನೆಗೆ ಬಹಳ ಉಪಯುಕವಾಗಿದೆ. ್ತ x, ಥಿ ಗ¼£್ನು ಪರಿವರ್vನೆ ಮಾಡಿ ಬರೆzg, À À À À É ಜಿ ( ಥಿ ) = ಥಿಜಿ (0 ) +
(
)
(
)(
ಥಿ ಥಿ2 −1 2 ಥಿ ಥಿ2 −1 ಥಿ2 − 4 ∆ ಜಿ (0 ) + 3! 5!
∆3 ಜಿ (− 1) + ಐ + xಜಿ (0 ) +
(
)
)
x x2 −1 2 ∆ ಜಿ (− 1) + ಐಐ 3!
ಇದgಲಿನ ¨sgಣರಾಶಿ (ಆಗ್ರ್ಯುಮೆಂಟ್)ಯನ್ನು ಒಂದgµ್ಟು ಹೆಚಿಸಿದg, À ್ಲ À À À À ್ಚ É ಥಿ ಜಿ ( ಥಿಜಿ+(1) ) = ಥಿಜಿ (2 ) +
1
ಮತ್ತು
(15)
(
1 ∆3 ಜಿ (0) + ಐ + xಜಿ (1) +
∆ = ಇ∇ = ಇ 2 δ
)
(
)(
2 2 ಥಿ ಥಿ2 −1 2 (2 ಥಿ ಥಿ − 1 ಥಿ − 4 ∆ ಜಿ −1) + 3! 5!
ಈ ಸಾಮ್ಯಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ವಂಕಿಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು :
(
)
)
x x2 −1 2 ∆ ಜಿ (0 ) + ಐಐ 3!
(16)
ಭರಣರಾಶಿಯ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಹಲವು ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವಣ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಉತ£್ನÀ ದ ಬೆ¯U¼£್ನು ಕªುಬದ್ಧವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದg, ಈ ್ಪ É À À À ್ರ À É ಸೂತ್ರ ಬಹಳ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತದೆ. (15) ರಲ್ಲಿ ಜಿ(x)ನ ಬೆಲೆ ಒಂದನೇ ಪಂಕ್ತಿಯ (16) ರಲ್ಲಿನ ಎರಡನೆಯ ಪಂಕ್ತಿಯ ಪದಾವಳಿಗೆ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆಯೆಂಬುದನ್ನು ಈ ಎರಡೂ ಪದಾವಳಿಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆಯಲು ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಸೂತ್ರ ಗªುನಿಸ¨ೀಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದ£್ನು ಮತೊª್ಮು ಗುಣಕ ಹಾಕ¨ೀಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದರಿಂದಾಗಿ À É À ್ತ É É ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಶªು ಉಳಿತಾಯವಾಗುವುದು. ್ರ À δ ಜಿ ( 1 ) + δ ಜಿ (− 1 ) x 2 2 2 2 ಅಸªiÁನಾಂತರ ಅಂತರ್ªೀಶನ : ಇದುವರೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಂತರ್ವೇಶನ À É ಜಿ ( x ) = ಜಿ (0) + x1 + δ ಜಿ (0) 2 2! ಕªುವ£್ನು ತಿಳಿದದ್ದಾಯಿತು. ಉತ್ಪ£್ನÀ ದ ಬೆಲೆ ಸªiÁನಾಂತರ ಸ್ಥಾ£U¼ಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತಿz್ದÀ ರೆ ್ರ À À À À À À 3 3 ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸೂತUಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನqುವಣ ಬೆ¯U¼£್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ್ರ À À É À À À x (x 2 − 1) δ ಜಿ ( 1 ) + δ ಜಿ (− 1 ) x 2 (x 2 − 1) 4 2 2 + + δ ಜಿ (0 ) + ಐಐ (10) ಕೆಲವು ಸಂದರ್¨ಗ¼ಲ್ಲಿ ಉತ£್ನÀ ದ ಬೆ¯Uಳ ಅಸªiÁನಾಂತರ ಸ್ಥಾ£U¼ಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತಿgಬಹುದು. Às À ್ಪ É À À À À À À 3! 2 4! ಈಗ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ µ ಎಂಬ ಪಕಿಯೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳೋಣ, ಅಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಸಾಧಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ್ರ ್ರ ್ಳ ಅಂದg, É ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾzs್ಯÀ ವಿಲ್ಲ. ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತ (ಡಿವೈಡೆಡ್ ಡಿ¥sg£ಸ್) ಗ¼£್ನು À É ್ಸÀ À À µ ಜಿ ( x ) = 1 [ ಜಿ ( 1 ) + ಜಿ (− 1 )] ಜಿ (x ) − ಜಿ ( x ) 2 2 2 1] ೀಕಜಿ .[xದ, x್ತÀ ಉತ್ಪ£್ನವು ಜಿ(x) ಆದರೆ 1 v ] 1 À [x 1 , x ¨ ಜಿ ಬಳ¸2 É− ು ( x) 1 − À ಅನ್ನು ಜಿ(x) ನ ಪಥಮ ್ರ 0 ] x ಎಂದಿಟ್ಟುPೂಳ್ಳೋಣ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾS್ಯÉ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ µ ಪಕಿಯೆಯನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ (9) δxವಿ¨sಇx22x − xಇ)ಐ=ತ(x=−2ಜಿx[ುx್ನತೆ,್ತೀxವೆ,.x 2ಇದನ್ನು ಜಿ[x −,x x ] ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. É ್ರ ್ರ = ಜಿತ 11 2 ಐ ( − x0Á)( − xವಿಕಲಿ ಇ ಎನಟಿ ) 0 1 − 0 1 ನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ಪುನರಾವೃತ್ತಿ¸ುತ್ತಾ À ಎಂಬುದನ್ನು ದ್ವಿತೀಯ 2 2 x x( x − 1) 2 δ ಜಿ (0) + ............. ಜಿ ( x) = ಜಿ (0) + xµ δ ಜಿ (0) + δ 2 ಜಿ (0) + 3! 2! ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತ ಎನ್ನುತೇವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೃತೀಯ ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತ ಮತ್ತು (11) ನ್ಯೂಟನ್-ಗಾóಸ್ ಅಪಗಾಮಿ ಸೂತzಲ್ಲಿ ಉಗªುಸ್ಥಾ£ª£್ನು 1ರಲ್ಲೂ ಅಂತgª£್ನು ಹೆಚಿನ ವರ್Uದ ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತU¼£್ನು ವ್ಯಾS್ಯÉ ಮಾಡುತೇವೆ. ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತUಳ ್ರ À À À À À À À À ್ಚ À À À À ್ತ À (x–1) ಎಂದೂ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮುಖ್ಯ ಸೂತªಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತ. ್ರ É É ್ರ 2 3 ಜಿ(x) = ಜಿ(1) + (x-1) ∆ ಜಿ(o) + x2 ∆ ಜಿ(o) + x ∆ ಜಿ(-1) + (x+1) (x –x0) (x –x1) ….. (x –xಟಿ) [x, x0,x1, …..xಟಿ] ಎಂಬುದನ್ನು 3 4 (12) 4∆ ಜಿ (-1) + .......... ಖಟಿ+1 (x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತª£್ನು É ್ರ À À x ಇದರ ಮತ್ತು (6)ರ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ತೆಗೆಯಲು ಜಿ ( x ) = ಜಿ−(00))+ ( x − x 0 ) ಜಿ [x 0 ,− x 1 ] + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ). 1 1 ಜಿ ( x) = ಜಿ (0) + x1δ ಜಿ ( ) + x 2δ 2 ಜಿ (0) + ( x + 1) 3 δ 3 ಜಿ ( ) . . . . . . . . (8) 2 2 2 3 ಜಿ ( x ) = ಜಿ ( 0 ) + x1δ ಜಿ ( −ಳಿ ) + ( x + 1) 2 δ ಜಿ ( 0 ) + ( x + 1) 3 δ ಜಿ ( −ಳಿ ) . . . . . . (9) 1
1
0
1
1 [ ಜಿ ( 0 ) + ಜಿ (1) ] + ( x − 1 ) ∆ ಜಿ ( 0 ) + x ( x − 1) ್ಠ 2 2 2! 1 x ( x − 1)( x − ) ∆ 2 ಜಿ ( 0 ) + ∆ 2 ಜಿ (1) 2 ∆ 3 ಜಿ ( − 1) + .......... ........( 13 ) + 2 3!
ಜಿ [x 0 , x 1 , x 2 ] + ಐ ಐ ಐ + ( x − x 0 )
ಜಿ ( x) =
ಜಿ [x 0 ,ಐಐ x( ] + ಖ ಟಿ +1 ( x ) ಟಿ
(13)
ಎಂಬ ಸೂತ್ರ ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ‘ಬೆಸ್ಸಲ್ ಸೂತ್ರ ‘ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕೇಂದ್ರ ವಿಕಲನಕಾರPUಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿದg, À À É 1 1 1 1 ಜಿ ( x) = µ ಜಿ + ( x − ) + δ ಜಿ + x2 µ δ 2 ಜಿ + 2 2 2 2 1 x ( x − 1)( x − ) 2 δ 3 ಜಿ 1 + .......... .......( 14 ) 3! 2
(14)
ಎಂಬ ರೂಪª£್ನು ತಾಳುವುದು. À À ಗಾóಸ್ ಅಗ್ರಗಾಮಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬೆಸವರ್ಗದ ವಿಕಲಿತಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕೆಳಗಿನ ವಿಕಲಿತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿ, 1 – x = ಥಿ ಎಂದು ಬರೆದರೆ, 2 2 2 ಜಿ(x) = x ಜಿ(1) + x(x2- 1) ∆ ಜಿ(0) + x(x - 1) (x - 4) 3! 5!
0
(x − x 1 )ಐ (x − x ಟಿ −1 )
(17)
ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಾನಗಳಾದ x0, x1,…….. xಟಿ ಗಳಲ್ಲಿ ಜಿ(x) ನ ಬೆಲೆಯು ಗೊತ್ತಿದ್ದಾಗ ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಮಾಡಬಹುದು. ಜಿ(x) ಉತ£್ನÀ ಟಿ ಘಾತದ ಬಹುಪದಿಯಾದರೆ ಅದರ (ಟಿ+1) ವರ್Uದ ್ಪ À ವಿಭಾಜಿತ ವಿಕಲಿತªÅÀ - ಎಂದರೆ [x, x0, x1, ……xಟಿ] ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದು. (17) ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆP್ಕÀ ಮಾಡಿದ ಅಂತರ್ªೀಶಿತ ಬೆಲೆ ನಿಖರವಾಗಿರುತz.É ಈ ನಿಬಂzs£ಗೆ É ್ತ À É ಜಿ(x) ಉತ£್ನÀ ಒಳಗಾಗದಿದ್ದgೂ ಖಟಿ+1 (x) ನUಣ್ಯವಾದರೆ (17) ರಿಂದ ಅಂತರ್ªೀಶನ ್ಪ À À É ಮಾಡಿ ಸ್ಥೂಲಬೆ¯ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. É ಲೆಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತದಿಂದಲೂ ಅಸªiÁನಾಂತರ ಅಂತರ್ªೀಶ£ª£್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ್ರ À É À À À ಜಿ(x) ಬಹುಪದಿಯ ಘಾತ ಟಿ ಆದಾಗ ಅನ್ನು ಆಂಶಿಕ ಭಿ£್ನÀ ರಾಶಿ (ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಫಾPನ್) ó್ರ ್ಷÀ ಟಿ
ಗಳಾಗಿ
ಂಞ
∑x−x ಞ =0
ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಅದgಂತೆ À ಞ
(18)
