ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
ಒಂದು t-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ S(h) ಮೊತ್ತದ ಒಂದೊಂದು ಪದವೂ ಈ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದೊಂದು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ OPQRO ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ದೊರಕುವ S(h) ಮಾದರಿಯ ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜೂ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಧಿಕ ಸ್ಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೆಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸ್ಪೂರ್ತಿಯಿಂದ ೦≤t≤1, -t≤h≤1-t ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂಕ್ತ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ ನ ಕೆಲವಷ್ಟು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ
ಮಾದರಿಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಅಧ್ಯಯನಾರ್ಹವೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇಂಥ Sδ(h) ಮತ್ತು h ಚರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಷ್ಟೆ ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ h ಚರಕ್ಕೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿನಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಇಡೀ ಸಾಂತ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬೆಲೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಆದೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅದು ಕೇವಲ 1/(q+1) ರೂಪದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. (q ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಷ್ಟೆ.) ಹೀಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಹೊಸ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಪದದ ಹಾಗೂ ~ ಚೆಹ್ನೆಯ ಅರ್ತವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು
Sδ(h) ~ λ
ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಾಗಿರುವ ಪಕ್ಷ ಈ ಕ್ಕೆ ಅಂತರ ಪೂರ್ತ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯ ಸಮಾಸ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾಮಕರಣಮಾಡಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. δ(t;h) = hy(t) ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸಮಾಸ ಚಿತ್ರ 8ರ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಡಿಯ ನಿಖರಕ್ಷೇತ್ರಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಮಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಥಮತಃ ನಾವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳ ಸಮಾಸ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮವೆಂಬುದು. ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು t-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ h=1/(q+1) ಆಗಿದ್ದರೆ
δ(t;h) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ್ದರಿಂದ n ಯಾವುದೇ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ
ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ಆಗುವೋತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದಮೇಲೆ q>m, 0<h<1/m ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ
ಇದರಿಂದ Sn(h) ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ Sn(h) ~ 0 ಅಥವಾಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ
1 1
ʃ n (t;h) = ʃ h δ (t;h) = 0
0 0
ಈ ಸರಳ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮಖ್ಯ ಅನುಮಿತವೊಂದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. δ(t;h) δ* (t;h) ಆಗಿದ್ದರೆ δ(t;h) - δ*(t;h) ಒಂದು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
ತತ್ಫಲವಾಗಿ 1 1
ʃ δ (t;h) ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಆಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದರೆ ʃ δ* (t;h) ಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದು
೦ 0
ಇವೆರಡು ಸಮಾಸಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗುತ್ತವೆ ;
1 1
ʃ δ (t;h) ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಆಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದರೆ ʃ δ* (t;h)
೦ ೦
ಈಗ ೦≤t≤1 ಅಂತರದಲ್ಲಿ f(t) ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲ್ಲಿ. ಹಾಗೂ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಆಗಿರಲಿ. ಹೀಗಿರವಾಗ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ
ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ
1 1
ʃ δ (t;h) = ʃ [f(t+h)- f(t)] = f(1) -f(0)
೦ ೦
ಇನ್ನು f(t) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ f'(t) ಇದ್ದರೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರ [11]ರ್ ( ಮೇರೆಗೆ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್ ಬರಬೇಕು ) ತತ್ಫಲವಾಗಿ
d f(t:h) = hf'(t) [f(t+h) - f(t)]
ತತ್ಫಲವಾಗಿ
1 1 1
ʃ d f(t;h) = ʃ h f'(t) ʃ [f(t+h)- f(t)] = f(1) -f(0)
0 0 0
ಇದು ತುಂಬ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಫಲಿತಾಂಶ.
